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设函数f(x)的定义域为D,值域为B,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f(g(t))的值域仍然是B,那么,称函数x=g(t)是函数f(x)的一个等值域变换.
(1)判断下列x=g(t)是不是f(x)的一个等值域变换?说明你的理由:(A)f(x)=2x+b,x∈R,x=t2-2t+3,t∈R;(B)f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R;
(2)设f(x)=log2x(x∈R+),g(t)=at2+2t+1,若x=g(t)是f(x)的一个等值域变换,求实数a的取值范围,并指出x=g(t)的一个定义域;
(3)设函数f(x)的定义域为D,值域为B,函数g(t)的定义域为D1,值域为B1,写出x=g(t)是f(x)的一个等值域变换的充分非必要条件(不必证明),并举例说明条件的不必要性.
【答案】分析:(1)根据题意中等值域变换的定义,分别分析(A)、(B)是否符合其定义,即值域是否相同,可得答案;
(2)根据题意,易得f(x)的值域为R,则g(t)=at2+2t+1能取到任意一个正数,分a=0与a≠0两种情况讨论,分析可得答案;
(3)设函数f(x)的定义域为D,值域为B,函数g(t)的定义域为D1,值域为B1,举例分析可得答案.
解答:解:(1)(A):函数f(x)=2x+b,x∈R的值域为R,
x=t2-2t+3=(t-1)2+2≥2,
y=f(g(t))=2[(t-1)2+2]+b≥4+b,
所以,x=g(t)不是f(x)的一个等值域变换;(2分)
(B):,即f(x)的值域为
当t∈R时,,即y=f(g(t))的值域仍为
所以,x=g(t)是f(x)的一个等值域变换;(5分)
(2)根据题意,易得f(x)的值域为R,因为x=g(t)是f(x)的一个等值域变换,
所以,g(t)=at2+2t+1能取到任意一个正数,(6分)
1)当a=0时,g(t)=2t+1是一次函数,;(8分)
2)当a≠0时,g(t)=at2+2t+1是二次函数,,(11分)
所以,a∈[0,1],
当a=0时,x=g(t)=2t+1的定义域为
当a∈(0,1]时,g(t)=at2+2t+1的定义域为
(注:定义域不唯一)(13分)
(3)设函数f(x)的定义域为D,值域为B,函数g(t)的定义域为D1,值域为B1,则x=g(t)是f(x)的一个等值域变换的充分非必要条件是“D=B1”.(15分)
条件的不必要性的一个例子是.f(x)=x2,D=R,B=[0,+∞)g(t)=2t-1,D1=R,B1=(-1,+∞)
此时D?B1,但f(g(t))=(2t-1)2的值域仍为B=[0,+∞),
即g(t)=2t-1(x∈R)是f(x)=x2(x∈R)的一个等值域变换.(18分)
(反例不唯一)
点评:本题是新定义的类型,解题时注意认真分析题意,准确理解把握并运用新定义解题.
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15
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a>b
a>b

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]
时,f(x)≥2x恒成立.则f(
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=
1
1

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