Question

已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

分析：本题中ab≠0是大前提.证明充要条件即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性与充分性都成立.

证明：先证必要性:因为a+b=1(ab≠0),即b=1-a,

所以a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.

所以必要性成立.

再证充分性:因为a³+b³+ab-a²-b²=0,

即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,

所以(a+b-1)(a²-ab+b²)=0.

又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a²-ab+b²≠0.

所以a+b-1=0,即a+b=1.故充分性成立.