Question

设M、N为抛物线C：y＝x²上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l₁、l₂，与x轴分别交于A、B两点，且l₁与l₂相交于点P，若|AB|＝1．

(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）y＝x²－1   （2）见解析

(1)设M(m，m²)，N(n，n²)，则依题意知，切线l₁，l₂的方程分别为y＝2mx－m²，y＝2nx－n²，则A(，0)，B(，0)．
设P(x，y)，由，得①
因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)²－4mn＝4，将①代入上式，得
y＝x²－1．
∴点P的轨迹方程为y＝x²－1．
(2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋b(b>0)．
联立方程
消去y，得x²－kx－b＝0．
所以m＋n＝k，mn＝－b．②
点P到直线MN的距离
d＝，
|MN|＝|m－n|，
∴S_△MNP＝d·|MN|
＝|k()－mn＋b|·|m－n|
＝·(m－n)²·|m－n|＝2．
即△MNP的面积为定值2．