Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB₁＝，M是线段B₁D₁的中点．

(1)求证：BM∥平面D₁AC；
(2)求证：D₁O⊥平面AB₁C；
(3)求二面角B-AB₁-C的大小．

Answer 1

60°.

(1)证明　建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D₁(0,0，)，
∴＝(－1，－1，)，
又点B(2,2,0)，M(1,1，)，
∴＝(－1，－1，)，
∴＝，又∵OD₁与BM不共线，
∴OD₁∥BM.
又OD₁?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC.

(2)证明　连接OB₁.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝
(－1，－1，)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即OD₁⊥OB₁，OD₁⊥AC，又OB₁∩AC＝O，∴D₁O⊥平面AB₁C.
(3)解　∵CB⊥AB，CB⊥BB₁，∴CB⊥平面ABB₁，∴＝(－2,0,0)为平面ABB₁的一个法向量．由(2)知为平面AB₁C的一个法向量．
∴cos〈，〉＝，∴与的夹角为60°，即二面角B-AB₁-C的大小为60°.