Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为

a2

2

（O为原点），则两条渐近线的夹角为

 

．

Answer 1

分析：设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点，进而根据双曲线方程求得渐近线方程和右准线方程，进而把这两个方程联立求得点A的坐标，△OAF的面积以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：

ab

c

，进而表示出△OAF的面积建立等式求得a=b，进而可知双曲线渐近线的斜率，可知其垂直，进而可推出答案．

解答：解：设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点
双曲线斜率为正的渐近线方程为：y=

b

a

x
而右准线为：x=

a2

c

于是，渐近线与右准线的交点A，其横坐标就是

a2

c

，纵坐标可求出是：
y=

ab

c

△OAF的面积若是以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：

ab

c

∴S△OAF=|OF|•

ab

c

•

1

2

=

ab

2c

=

ab

2

由题意有：

ab

2

=

a2

2

∴a=b
∴双曲线两条渐近线就是：y=±x
∴两条渐近线相互垂直
∴它们的夹角很容易得出是90°
故答案为90°

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，平时应注意多积累．