Question

1．如图所示，已知单位正方体ABCD-A′B′C′D′，E是正方形BCC′B′的中心．
（1）求AE与下底面所成角的大小；
（2）求异面直线AE与DD′所成的角的大小．
（理科）（3）求二面角E-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）过E作EF⊥平面ABCD，F为垂足，∠EAF就是求AE与下底面所成角的大小，由此能求出AE与下底面所成交的大小．
（2）由EF∥CC'∥DD'，知∠AEF就是异面直线AE与DD'所成的角，由此能求出AE与DD'所成交的大小．
（3）由BE⊥AB，BC⊥AB，知∠EBC就是二面角E-AB-C的平面角，由此能求出二面角E-AB-C的大小．

解答 解：（1）过E作EF⊥平面ABCD，F为垂足，
∴AF是AE在底面ABCD上的射影，
∴∠EAF就是求AE与下底面所成角的大小，（2分）
在Rt△EAF中，tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$∠EAF=arctan\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，（3分）
∴AE与下底面所成角的大小为$arctan\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（2）∵EF∥CC'∥DD'，
∴∠AEF就是异面直线AE与DD'所成的角，（2分）
在Rt△EAF中，tan∠AEF=$\frac{AF}{EF}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，
$∠AEF=arctan\sqrt{5}$，
因此，AE与DD'所成交的大小为$arctan\sqrt{5}$．                     （3分）
（3）∵AB⊥平面BCC'B'，∴BE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EBC就是二面角E-AB-C的平面角，（2分）
∴∠EBC=45°，
∴二面角E-AB-C的大小为 45°（2分）

点评 本题考查线面角、二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．