Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．
（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A-A₁M-N的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A₁BC．由等腰三角形“三线合一”得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA₁⊥l且AD、AA₁是平面ADD₁A₁内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）连接A₁P，过点A作AE⊥A₁P于E，过E点作EF⊥A₁M于F，连接AF．根据面面垂直判定定理，证出平面A₁MN⊥平面A₁AE，
从而得到AE⊥平面A₁MN，结合EF⊥A₁M，由三垂线定理得AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A-A₁M-N的平面角．设AA₁=1，分别在Rt△A₁AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A-A₁M-N的余弦值．
解答：解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴直线l∥平面A₁BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA₁⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA₁⊥l
∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）连接A₁P，过点A作AE⊥A₁P于E，过E点作EF⊥A₁M于F，连接AF
由（I）知MN⊥平面A₁AE，结合MN?平面A₁MN得平面A₁MN⊥平面A₁AE，
∵平面A₁MN∩平面A₁AE=A₁P，AE⊥A₁P，∴AE⊥平面A₁MN，
∵EF⊥A₁M，EF是AF在平面A₁MN内的射影，
∴AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A-A₁M-N的平面角
设AA₁=1，则由AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1
Rt△A₁AP中，A₁P==；Rt△A₁AM中，A₁M=
∴AE==，AF==
∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==
即二面角A-A₁M-N的余弦值等于．
点评：本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．