Question

【题目】试确定平面上是否存在满足下述条件的两个不相交的无限点集、：

（1）在中，任何三点不共线，且任何两点的距离至少为1；

（2）任何一个顶点在中的三角形，其内部均存在一个中的点，任何一个顶点在中的三角形，其内部均存在一个中的点.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

不存在这样的集合、.

用反证法证明.

定义集合中的“凸五点组”为：一个凸多边形，其顶点全部为集合中的点，且其内部和边界上一共恰有集合中的五个点.

因为无限点集中任意两点之间距离至少为1，所以，存在一个边长一定的正方形中至少存在点集中的有限（至少五个）多个点.

设这有限个点的凸包为边形.

考虑内部.

若其内部没有点集中的点，则凸边形比原图形少一个点，其内部点一样；若内部有点集中的点，考虑这些点和、的凸包为，则凸多边形和其内部的点比原图形少一个点（点）.依次类推，知道得到凸五点组.

在上面这个有限区域中，考虑一个凸五点组.

1.这个凸五点组的凸包为凸五边形.则在、、中均存在点集中的点，分别为、、，故中有点集中的点，其在内部，这与为凸五点组矛盾.

2.这个凸五点组的凸包为凸四边形，内部有点.则在、、、中均存在点集中的点，分别为、、、.若四边形为凸四边形，则、中有点集中的点、，它们至少有一点不同于.若为中包含，则、中有点集中的点、，它们至少有一点不同于.这均与为凸五点组矛盾.

3.这个凸五点组的凸包为，内部有点、.则在、、、、中均存在点集中的点，分别为、、、、.若为凸五边形，则、、中有点集中的点、、，它们互不相同，至少有一点不同于、.若不为凸五边形，则其中一定有一个含于另三点构成的三角形中，不放设中包含点，故、、中有点集中的点、、，它们至少有一点不同于、.这均与为凸五点组矛盾.

综上，这样的无限点集不存在.