Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2． （Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD= ， ∴BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
则BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A1OC= ，
如图，建立空间坐标系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（ ，0，0），E（﹣ ，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），
=（﹣ ， ，0）， =（0， ，﹣ ），

设平面A1BC的法向量为 =（x，y，z），平面A1CD的法向量为 =（a，b，c），
则 得 ，令x=1，则y=1，z=1，即 =（1，1，1），
由 得 ，
取 =（0，1，1），
则cos＜ ＞= = = ，
∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．