(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点,交直线于点.
(1)若为的中点,求证:;
(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;
(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).
(1)设,
,
又
(2)逆命题:设直线交椭圆于两点,交直线于点.若,则为的中点.
证明:由方程组
因为直线交椭圆于两点,
所以,即,设、、
则 ,
又因为,所以
,故E为CD的中点.
(3)为中点的充要条件是.
【解析】
试题分析:(1)解法一:设
,
又
解法二(点差法):设
,
两式相减得
即
(2)逆命题:设直线交椭圆于两点,交直线于点.若,则为的中点.
证法一:由方程组
因为直线交椭圆于两点,
所以,即,设、、
则 ,
又因为,所以
,故E为CD的中点.
证法二:设
则,
两式相减得
即
又,即
得,即为的中点.
(3)设直线交双曲线于两点,交直线于点.则为中点的充要条件是.
考点:本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系
点评:求过定点的圆锥曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法:(1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程.(2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解.
科目:高中数学 来源: 题型:
a1+2a2+3a3+…+nan |
1+2+3+…+n |
n(n+1)(2n+1) |
6 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
已知函数(,、是常数,且),对定义域内任意(、且),恒有成立.
(1)求函数的解析式,并写出函数的定义域;
(2)求的取值范围,使得.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分16分)已知数列的前项和为,且.数列中,,
.(1)求数列的通项公式;(2)若存在常数使数列是等比数列,求数列的通项公式;(3)求证:①;②.
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科目:高中数学 来源:江苏省私立无锡光华学校2009—2010学年高二第二学期期末考试 题型:解答题
本题满分16分)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB = 2,BC = 6,CD = DA = 4;求四边形ABCD的面积.
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科目:高中数学 来源:2010年上海市徐汇区高三第二次模拟考试数学卷(文) 题型:解答题
(本题满分16分;第(1)小题5分,第(2)小题5分,第三小题6分)
已知函数
(1)判断并证明在上的单调性;
(2)若存在,使,则称为函数的不动点,现已知该函数有且仅有一个不动点,求的值;
(3)若在上恒成立 , 求的取值范围.
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