Question

8．过两点P₁（2，2），P₂（-3，-1）作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．

Answer 1

分析 设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程，及椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．

解答 解：设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵过两点P₁（2，2），P₂（-3，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a²=$\frac{32}{3}$，b²=$\frac{32}{5}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{3{x}^{2}}{32}$+$\frac{5{y}^{2}}{32}$=1；
即有a=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
则椭圆的长半轴为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$、短半轴为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程和基本性质，考查学生的计算能力，属于基础题．