Question

4．已知函数f（x）=x⁴-4x³+10x²-27，则方程f（x）=0在[2，10]上的根（　　）

• A． 有3个
• B． 有2个
• C． 有且只有1个
• D． 不存在

Answer 1

分析 先求导f′（x）=4x³-12x²+20x=4x[（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{11}{4}$]，从而得到函数f（x）=x⁴-4x³+10x²-27在[2，10]上单调递增，再由函数零点的判定定理从而求得方程f（x）=0在[2，10]上的根的个数．

解答 解：∵f（x）=x⁴-4x³+10x²-27，
∴f′（x）=4x³-12x²+20x
=4x[（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{11}{4}$]，
∴f（x）=x⁴-4x³+10x²-27在[2，10]上单调递增，
又∵f（2）=16-32+40-27=-3，
f（10）=10000-4000+1000-27=6963，
故方程f（x）=0在[2，10]上的根的个数为1个．
故选：C

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数零点的判定定理，属于中档题．