Question

（本小题满分14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。
（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；
（Ⅱ）设函数，求的取值范围；
（Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，
证明：函数。

Answer 1

（Ⅰ）。（Ⅱ）。 （Ⅲ）见解析。

试题分析：（1）根据题意，只要sin（x₀+1）=sinx₀+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值进行证明；
（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出对应的方程，再由一元二次方程有解的条件求出k的范围，注意二次系数是否为零；
（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．.
（Ⅰ）若，在定义域内存在，则， ∵方程无解，∴。
（Ⅱ），
时，；时，由，得。
∴。 
（Ⅲ）∵，
又∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，
则，其中。
∴，即。
点评：本题属于新定义，新情景的问题，主要利用新定义进行运算，考查了对数函数、正弦函数和指数函数的性质，函数的零点存在性判定理的应用，综合性强、难度大．