Question

【题目】已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）． （Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；
（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0）， ∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=﹣2上．
由 ，解得 ，即圆心M的坐标为（﹣2，1）．
∴半径 ，
因此，圆M的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10．
（Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）2+（2﹣1）2=10，
∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直．
∵CM的斜率kCM= ，∴过点C的切线斜率为k= =﹣3，
由此可得过点C（1，2）的圆M的切线方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），化简得3x+y﹣5=0．
（Ⅲ）设Q（x，y）、P（x0 ， y0），
∵四边形ADQP为平行四边形，∴对角线AQ、PD互相平分，即AQ的中点也是PD的中点．
即 ，解得
将P（x﹣2，y﹣4）代入圆M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10，
∴顶点Q在圆x2+（y﹣5）2=10上运动，
∵圆x2+（y﹣5）2=10交直线AD于点（﹣1，8）和（﹣3，4），
当Q与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP，
∴顶点Q的轨迹方程为x2+（y﹣5）2=10，（点（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）
【解析】（Ⅰ）根据圆的性质，可得圆心M为AB垂直平分线与直线x﹣2y+4=0的交点．因此联解两直线的方程，得到圆心M的坐标，由两点的距离公式算出半径r= ，即可得到圆M的方程；（Ⅱ）由于点C是圆M上的点，所以过点C的圆M的切线与CM垂直．因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率，从而得到切线的斜率k=﹣3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程；（Ⅲ）设Q（x，y）、P（x0 ， y0），根据平行四边形ADQP的对角线互相平分，利用线段的中点坐标公式列式，解出P的坐标为（x﹣2，y﹣4），代入圆M的方程化简可得x2+（y﹣5）2=10．最后根据构成平行四边形的条件，去除两个杂点（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到顶点Q的轨迹方程．