【题目】已知, 分别是椭圆: ()的左、右焦点,离心率为, , 分别是椭圆的上、下顶点, .
(1)求椭圆的方程;
(2)过作直线与交于, 两点,求三角形面积的最大值(是坐标原点).
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)根据离心率为, ,列出关于 、 、的方程组,结合性质 ,求出 、 、,即可得椭圆的方程;(2)直线斜率存在,设其方程为.,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理,弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式将角形面积用 表示,利用基本不等式 即可得结果.
试题解析:(1)由题知, , , ,
∴,∴,①
∵,∴,∴,②
①②联立解得, ,∴椭圆的方程为.
(2)设, ,显然直线斜率存在,设其方程为,
代入,整理得,
则,即, , ,
,
所以到的距离,
所以三角形面积 ,
设,所以,
当且仅当,即,即,即时取等号,
所以面积的最大值为.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
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【题目】对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下.
寿命(h) | 100~200 | 200~300 | 300~400 | 400~500 | 500~600 |
个 数 | 20 | 30 | 80 | 40 | 30 |
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计元件寿命在100~400h以内的在总体中占的比例.
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【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2 , 短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明: 为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足(其中, 为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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【题目】近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织,现把该组织的成员按年龄分成组第组,第组,第组,第组,第组,得到的频率分布直方图如图所示,已知第组有人.
(1)求该组织的人数;
(2)若在第组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第组各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的条件下,该组织决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验,求第组至少有名志愿者被抽中的概率.
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