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【题目】已知 分别是椭圆 )的左、右焦点,离心率为 分别是椭圆的上、下顶点,

(1)求椭圆的方程;

(2)过作直线交于 两点,求三角形面积的最大值(是坐标原点).

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)根据离心率为 ,列出关于的方程组,结合性质 ,求出,即可得椭圆的方程;(2)直线斜率存在,设其方程为.,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理,弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式将角形面积用 表示,利用基本不等式 即可得结果.

试题解析:(1)由题知,

,∴,①

,∴,∴,②

①②联立解得 ,∴椭圆的方程为

(2)设 ,显然直线斜率存在,设其方程为

代入,整理得

,即

所以的距离

所以三角形面积

,所以

当且仅当,即,即,即时取等号,

所以面积的最大值为

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.

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【题目】对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下.

寿命(h)

100~200

200~300

300~400

400~500

500~600

个 数

20

30

80

40

30


(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计元件寿命在100~400h以内的在总体中占的比例.

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(1)求椭圆的方程;
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(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足(其中 为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件.

(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;

2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

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(1)若时取到极值,求的值及的图象在处的切线方程;

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(1)若曲线与曲线恰好相切于点,求实数的值;

(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;

(3)求证:. .

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(1)求该组织的人数;

(2)若在第组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第组各抽取多少名志愿者?

(3)在(2)的条件下,该组织决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验,求第组至少有名志愿者被抽中的概率.

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