Question

如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的最大值为（　　）

• A．2

  2

• B．2
• C．3
• D．3

  3

Answer 1

分析：在△CPD中，利用CP+CD＞PD，CD+PD＞CP，可得2＜x＜4．在△CPD中，设∠DCP=θ，由余弦定理可得cosθ=

22+x2-(6-x)2

2×2×x

=

3x-8

x

．利用平方关系可得sinθ=

1-cos2θ

，利用三角形的面积计算公式可得f（x）=

1

2

×CP×CD×sinθ=2

-2(x-3)2+2

，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：∵CP=x，CP+PB=8-2=6，
∴CP=6-x=PD．
在△CPD中，∵CP+CD＞PD，CD+PD＞CP
，∴x+2＞6-x，2+6-x＞x，
解得2＜x＜4．
在△CPD中，设∠DCP=θ，由余弦定理可得cosθ=

22+x2-(6-x)2

2×2×x

=

3x-8

x

．
∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 3x-8 x )2

，
∴f（x）=

1

2

×CP×CD×sinθ=

1

2

×x×2×sinθ=xsinθ=x

1-( 3x-8 x )2

=2

-2(x-3)2+2

∴当且仅当x=3时，f（x）取得最大值，f（3）=2

2

．
故选A．

点评：本题考查了三角形三边的大小关系、余弦定理、平方关系、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．