【题目】已知点O是四边形内一点,判断结论:“若,则该四边形必是矩形,且O为四边形的中心”是否正确,并说明理由.
【答案】该结论不正确,见解析
【解析】
设O是四边形内一点,过点A作且,连接,过点B作且,连接,,利用平面向量加法的平行四边形法则,可证得点O为与的中点的连线的中点;同理可证得点O也为与的中点的连线的中点,故点O是四边形对边中点连线的交点,且该四边形不一定是矩形.
该结论不正确.
当四边形是矩形,点O是四边形的中心时,必有,反之未必成立.
如图所示,设O是四边形内一点,
过点A作且,连接,则四边形为平行四边形,
设与的交点为M.过点B作且,连接,,
则四边形为平行四边形,
设与交于点N,于是M,N分别是,的中点.
∴,.又,
∴,且点O是公共点,点M,N分别在,上,
故M,O,N三点共线,且点O为的中点,
即点O为与的中点的连线的中点.
同理可证:点O也为与的中点的连线的中点,
∴点O是四边形对边中点连线的交点,且该四边形不一定是矩形.
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【题目】已知椭圆 的左焦点左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知,是椭圆上的两点,是椭圆上位于直线两侧的动点.若,试问直线的斜率是否为定值?请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程是,圆的参数方程为(为参数,).
(1)若直线与圆有公共点,求实数的取值范围;
(2)当时,过点且与直线平行的直线交圆于两点,求的值.
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【题目】退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,按的比例从年龄在20~80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查,并将年龄按进行分组,绘制成频率分布直方图,如图所示.规定年龄在岁的人为“青年人”,岁的人为“中年人”, 岁的人为“老年人”.
(Ⅰ)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数,若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表,试估算所调查的600人的平均年龄;
(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20~80岁的人口分布的概率,从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数=
(1)写出该函数的单调区间;
(2)若函数=-m恰有3个不同零点,求实数m的取值范围;
(3)若≤n2-2bn+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数n的取值范围.
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【题目】地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现,紧急避险常识越来越引起人们的重视.某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况,从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛.图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按,分组,得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)根据成绩频率分布直方图分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;
(Ⅱ)完成下面列联表,并回答是否有的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”?
成绩小于60分人数 | 成绩不小于60分人数 | 合计 | |
高一年级 | |||
高二年级 | |||
合计 |
附:
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】给出下列命题:
①已知,“且”是“”的充分条件;
②已知平面向量,“”是“”的必要不充分条件;
③已知,“”是“”的充分不必要条件;
④命题:“,使且”的否定为:“,都有且”.其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知函数, ,
(1)若,且在其定义域上存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)设函数, ,若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设函数的图象与函数的图象交于点、,过线段的中点作轴的垂线分别交, 于点、,证明: 在点处的切线与在点处的切线不平行.
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