Question

（2012•福州模拟）本题有（1）、（2）、（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
利用矩阵解二元一次方程组

3x+y=2 4x+2y=3

．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1．圆的参数方程为

x=1+rcosq y=1+rsinq

（θ为参数，r＞0），若直线l与圆C相切，求r的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）方程组可写为

3 1 4 2

x y

=

2 3

，由于系数行列式为2，故有唯一解．求出逆矩阵，原方程组的解为

x y

=

1 1 2 -2 3 2

2 3

=

1 2 1 2

．
（2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把圆C的参数方程化为普通方程，根据直线和圆相切的性质求出半径．
（3）由于 （a+b+c）²=（a×1+b×1+c×1）²，利用柯西不等式求出它的最大值，即可得到a+b+c的最大值．

解答：解：（1）方程组可写为

3 1 4 2

 

x y

=

2 3

，（2分）
系数行列式为 3×2-4×1=2，方程组有唯一解．
利用矩阵求逆公式得

3 1 4 2

-1=

1 1 2 -2 3 2

，（5分）
因此原方程组的解为

x y

=

1 1 2 -2 3 2

 

2 3

=

1 2 1 2

，即 

x= 1 2 y= 1 2

． （7分）
（2）∵直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴直线l的直角坐标方程为 x+y-1=0，（2分）
又圆C的普通方程为 （x-1）²+（y-1）²=r²，
所以圆心为（1，1），半径为r．（4分）
因为圆心到直线l的距离 d=

|1+1-1|

2

=

2

2

，（6分）
又因为直线 l与圆C相切，所以 r=

2

2

．（7分）
（3）∵a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），
∴（a+b+c）²=（a×1+b×1+c×1）²≤（a²+b²+c²） （1²+1²+1²）=3．（5分）
当且仅当 a=b=c时，等号成立，故 a+b+c的最大值为

3

． （7分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，柯西不等式在求函数的极值中的应用，属于基础题．