Question

【题目】已知圆C的圆心在直线l：2x﹣y＝0上，且与直线l1：x﹣y+1＝0相切．

（Ⅰ）若圆C与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，试求圆C的半径；

（Ⅱ）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）还存在一条公切线，其方程为7x﹣y+5＝0．

【解析】

（I）设出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离表示半径，再根据两圆外切的条件列方程，解方程求得圆的半径.

（II）将另一条公切线的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，结合圆心到两条公切线的距离相等列方程，由此求得另一条公切线的方程.

（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，2a），则半径r，

两圆的连心线长为|a﹣1|r，

因为两圆外切，所以r＝r+9，∴r1；

（Ⅱ）如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点（1，2），

①若斜率不存在，则直线方程为：x＝1，圆心C到它的距离|a﹣1|＝r，

由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线，

②若斜率存在，设公切线方程为：y﹣2＝k（x﹣1），

则dr对任意的a都成立，，，两边平方并化简得k2﹣8k+7＝0，解得k＝1或k＝7，

当k＝1时，直线与l1重合，

当k＝7时，直线方程为7x﹣y+5＝0，

故还存在一条公切线，其方程为7x﹣y+5＝0．