Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ≠-1，0；
（I）证明：数列{a_n}是等比数列．
（II）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）求数列{b_n}的通项公式；
（III）记λ=1，记Cn=an(

1

bn

-1)，求数列{C_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（I）根据题意和a_n=s_n-s_n-1（n≥2）进行变形，再由等比数列的定义判断得出；
（II）由（I）和题中所给的式子求出b_n后，再进一步变形，判断出{

1

bn

}是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{b_n}的通项公式；
（III）由前两小题的结果求出C_n，再由错位相减法求出该数列的前n项和为T_n．

解答：解：（I）由S_n=（1+λ）-λa_n得，S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=-λa_n+λa_n-1，∴

an

an-1

=

λ

1+λ

（n≥2），
∵λ≠-1，0，∴数列{a_n}是等比数列．
（II）由（I）知，f(λ)=

λ

1+λ

，
∵b_n=f（b_n-1）（n∈N^*），∴bn=

bn

1+bn-1

，即

1

bn

=

1

bn-1

+1，
∴{

1

bn

}是首项为

1

b1

=2，公差为1的等差数列；
∴

1

bn

=2+(n-1)=n+1，
则bn=

1

n+1

，
（III）λ=1时，q=

λ

1+λ

=

1

2

，且a₁=1，∴an=(

1

2

)n-1，
∴Cn=an(

1

bn

-1)=(

1

2

)n-1n，
∴Tn=1+2(

1

2

)+3(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=(

1

2

)+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n②
②-①得：

1

2

Tn=1+(

1

2

)+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+(

1

2

)+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2(1-(

1

2

)n)-n(

1

2

)n，
∴Tn=4(1-(

1

2

)n)-2n(

1

2

)n．

点评：本题是数列的综合题，涉及了等差数列、等比数列的通项公式，主要利用关系式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和构造法进行变形，还涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力．