Question

（2013•内江一模）已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

an×an+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，解方程可求d，进而可求通项
（2）由

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项可求T_n，由T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立可知T_n最大值≤λ（n+2），可求

解答：解：（1）设公差为d．由已知得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

解得d=1或d=0（舍去）  
 所以a₁=2，故a_n=n+1
（2）因为

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

因为T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立
∴

n

2(n+2)

≤λ（n+2）对?n∈N^*恒成立
即

n

2(n+2)2

≤λ对?n∈N^*恒成立
又

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

16

所以λ=

1

16

点评：新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求掌握．数列求和的方法具有很强的模型（错位相减型、裂项相消型、倒序相加型），建议熟练掌握，将恒成立问题转化为最值是常用的方法，需要注意．