Question

【题目】已知等腰直角三角形，其中， ．点、分别是、

的中点，现将△沿着边折起到△位置， 使⊥，连结、．

（Ⅰ）求证：BC⊥PB

（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知条件AD∥BC，PA⊥AD，从而得到BC⊥PA，再由BC⊥AB，即可得到BC⊥平面PAB，从而得出BC⊥PB；（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB即可得到PA⊥平面ABCD，从而连接AC，∠PCA便是PC与平面ABCD所成角，从而求出AC，PC的长，在直角三角形PAC中即可求出cos∠PCA

试题解析：：（Ⅰ）证明：∵A、D分别是RB、RC的中点；

∴AD∥BC，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°；

∴PA⊥AD，PA⊥BC；

又BC⊥AB，PA∩AB=A；

∴BC⊥平面PAB；

∵PB平面PAB；

∴BC⊥PB；

（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB=A；

∴PA⊥平面ABCD；

连接AC，则∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角；

∵AB=1，BC=2，∴AC=；

又PA=1，PA⊥AC，∴PC=；

∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝；

∴PC与平面ABCD所成角的余弦值为