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已知数列{an}为公差大于0的等差数列,Sn为其前n项和,且a1a6=21,S6=66.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=xan+3,求{bn}的前n项和Tn
(3)若数列{cn}是等差数列,且cn=
Snn+p
,求常数p.
分析:(1)由 S6=66 求出a1+a6=22,再由a1a6=21,公差大于0可得 a1=1,a6=21,求出公差d=4,可得数列{an}的通项公式.
(2)先求出bn=xan+3=x4n+9,分x=0时、x=1时、x≠0 且x≠-1时三种情况,分别求得,{bn}的前n项和 Tn的值,
综合可得结论.
(3)先求出 Sn=2n2-n,可得cn=
Sn
n+p
=
2n2-n
n+p
.再由c1+c3=2c2,由此解得 p的值.
解答:解:(1)∵S6=66=
6(a1+a6)
2
,∴a1+a6=22.再由a1a6=21
可得 a1 和a6是方程 x2-22x+21=0的两个根,再由公差大于0可得 a1=1,a6=21,
由于a6=21=a1+5d,故公差d=4,故 an =4n-3.
(2)bn=xan+3=x4n+9
当x=0时,bn=xan+3=0,{bn}的前n项和 Tn=0.
当x=1时,bn=xan+3=1,{bn}的前n项和 Tn=n.
当x=-1时,bn=xan+3=-1,{bn}的前n项和Tn=-n.
当x≠0 且x≠±1时,bn=x4n+9,{bn}的前n项和 Tn=
x13(1-x4n)
1-x4

综合可得,{bn}的前n项和Tn=
0,x=0
n,x=1
-n,x=-1
x13(1-x4n)
1-x4
,x≠±1且x≠0

(3)∵Sn=n×1+
n(n-1)
2
×4
=2n2-n,∴cn=
Sn
n+p
=
2n2-n
n+p
. 
∵{cn}是等差数列,∴c1+c3=2c2,即
1
1+p
+
15
3+p
=2×
6
2+p

由此解得 p=0,或 p=-
1
2
点评:本题主要考查等差关系的确定,等差数列的定义和性质,等差数列的通项公式,前n项和公式的应用,属于中档题.
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已知数列{an}为公差不为0的等差数列,Sn为前n项和,a5和a7的等差中项为11,且a2•a5=a1•a14.令bn=
1anan+1
,数列{bn}的前n项和为Tn
(1)求an及Tn
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n+p
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