【题目】已知函数,
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式对任意 恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)当 时,递增区间为;当时,递减区间是,递增区间是;(2)
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,求得函数的单调区间;
(2)构造函数,利用进行适度放缩,从而判断函数单调性,找到对应的参数范围即可.
(1)由题意,得.
①当 时,,在上为增函数;
②当 时,
当 时,, 在上为减函数,
当 时,, 在 上为增函数.
综上所述,当 时,的单调递增区间为;
当时, 的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)由不等式 ,对恒成立,
即,对 恒成立.
构造函数,
则.
下面证明:,
令,则
当,单调递减;
当,单调递增;
故,即证,
所以
,
①当时,
在上恒成立,
在上单调递增,
,
即,对恒成立.
②当 时,因为,
所以,即 ,在成立.
故当 时,
,
因为时,,
知 在上为减函数,,
即在 上,不存在使得不等式对任意 恒成立.
综上,实数的取值范围是.
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【题目】已知点和点,直线,的斜率乘积为常数,设点的轨迹为,下列说法正确的是( )
A.存在非零常数,使上所有点到两点,距离之和为定值
B.存在非零常数,使上所有点到两点,距离之和为定值
C.不存在非零常数,使上所有点到两点,距离之差的绝对值为定值
D.不存在非零常数,使上所有点到两点,距离之差的绝对值为定值
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【题目】已知椭圆的一个焦点为,离心率为.为椭圆的左顶点,为椭圆上异于的两个动点,直线与直线分别交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)若与的面积之比为,求的坐标;
(III)设直线与轴交于点,若三点共线,求证:.
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【题目】在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.甲镇有基层干部60人,乙镇有基层干部60人,丙镇有基层干部80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成,,,,5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这20人中有多少人来自丙镇,并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数(精确到整数位);
(2)如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色,求选出的20名基层干部中工作出色的人数,并从中选2人做交流发言,求这2人中至少有一人走访的贫困户在的概率.
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【题目】教材曾有介绍:圆上的点处的切线方程为我们将其结论推广:椭圆的点处的切线方程为在解本题时可以直接应用,已知直线与椭圆E:有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设O为坐标原点,过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线,且与交于点M
①设,直线AB、OM的斜率分别为,求证:为定值;
②设,求△OAB面积的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点O(0,0),M(-4,0),N(4,0),P(0,-2),Q(0,2),H(4,2).线段OM上的动点A满足;线段HN上的动点B满足.直线PA与直线QB交于点L,设直线PA的斜率记为k,直线QB的斜率记为k',则kk'的值为______;当λ变化时,动点L一定在______(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.
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【题目】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为公里,远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里,则该椭圆形轨道的离心率约为
A. B. C. D.
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【题目】已知函数.
(1)当时,直线与相切,求的值;
(2)若函数在内有且只有一个零点,求此时函数的单调区间;
(3)当时,若函数在上的最大值和最小值的和为1,求实数的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数, ),以为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.
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