Question

已知函数f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，数列{a_n}满足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=4时，记bn=

an-2

a n-1

(n∈N*)，证明数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x）以及a_n+1=f（a_n）知，数列{a_n}是常数列时，a_n+1=a_n=a，代入整理，求出a的值．
（2）由题意求得b₁的值，根据定义证明数列{b_n}是等比数列，求出通项公式b_n；由b_n求出{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵f(x)=

4x-2

x+1

，a1=a，an+1=f(an)(n∈N*)，当数列{a_n}是常数列时，a_n+1=a_n=a，即a=

4a-2

a+1

，解得a=2，或a=1；∴所求实数a的值是1或2．
（2）∵a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴b₁=

2

3

，
∴b_n+1=

an+1-2

an+1-1

=

f(an)-2

f(an)-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2an-4

3an-3

=

2

3

×

an-2

an-1

，
即bn+1=

2

3

bn(n∈N*)．
∴数列{b_n}是以b1=

2

3

为首项，公比为q=

2

3

的等比数列，
于是bn=

2

3

(

2

3

)n-1=(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-2

an-1

，即

an-2

an-1

=(

2

3

)n，解得an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．
∴所求的通项公式an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．

点评：本题考查了数列与函数的综合运用，本题中用函数解析式表示数列的递推公式，推导数列的通项公式，计算量大，是较难的题目．