Question

观察以下几个等式：
（1）C₂¹=C₁C₁¹+C₁¹C₁；
（2）C₄²=C₂C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂；
（3）C₆³=C₃C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃，
归纳其特点可以获得一个猜想是：
 C_2nⁿ=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据已知中的等式：C₂¹=C₁C₁¹+C₁¹C₁；C₄²=C₂C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂；C₆³=C₃C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．
解答：解：观察以下几个等式：
（1）C₂¹=C₁C₁¹+C₁¹C₁；
（2）C₄²=C₂C₂²+C₂¹C₂¹+C₂²C₂；
（3）C₆³=C₃C₃³+C₃¹C₃²+C₃²C₃¹+C₃³C₃，
归纳其特点：组合数的下标是自然数数列，和式一共有n+1项，可以获得一个猜想是：
 C_2nⁿ=C_nC_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n．
故答案为：C_nC_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）