Question

18．在锐角三角形中，边a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，角A、B满足：sinAsinB-cosAcosB-$\frac{1}{2}$=0，求：边c的长度及△ABC的面积．

Answer 1

分析 由sinAsinB-cosAcosB-$\frac{1}{2}$=0，可得cos（A+B）=-$\frac{1}{2}$，由△ABC为锐角三角形，可求C，又a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，可得a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，利用余弦定理可求c，从而利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：由sinAsinB-cosAcosB-$\frac{1}{2}$=0，可得cos（A+B）=-$\frac{1}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，C=60°，
又∵a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
∴c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．