分析 (Ⅰ)通过an=dn2直接计算出前三项的值,利用a1+a2<a3即得结论;
(Ⅱ)(1)利用(3Sn+1-3)-(3Sn-3)=(2Sn)-(2Sn-1)(n≥2)可知$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$,进而bn>bn+1>bn+2,通过计算可知bn+1+bn+2>bn,进而可得结论;(2)通过bn=$(\frac{2}{3})^{n-1}$、an=n2可知$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n}$=n$(\frac{2}{3})^{n-1}$,利用错位相减法可知Tn=9-3(n+3)$(\frac{2}{3})^{n}$,进而$(\frac{2}{3})^{n}$[$\frac{a}{n}$-3(n+3)]<0恒成立,问题转化为求3(n2+3n)的最小值,计算即得结论.
解答 (Ⅰ)结论:数列{an}不是“三角形”数列.
理由如下:
∵an=dn2(d>0),
∴a1=d,a2=4d,a3=9d,
∵a1+a2<a3,
∴a1、a2、a3不能构成一个三角形的三边,
∴数列{an}不是“三角形”数列;
(Ⅱ)(1)证明:∵3Sn+1-3=2Sn,
∴(3Sn+1-3)-(3Sn-3)=(2Sn)-(2Sn-1)(n≥2),
整理得:3bn+1=2bn,即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$,
∵b1=1,
∴3(b1+b2)-3=2b1,
∴b2=1-$\frac{1}{3}$b1=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$(n∈N*),
∴数列{bn}为单调递减数列,
即bn>bn+1>bn+2,
又∵bn+1+bn+2-bn=$(\frac{2}{3})^{n}$+$(\frac{2}{3})^{n+1}$-$(\frac{2}{3})^{n-1}$
=$(\frac{2}{3})^{n-1}$×($\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-1$)
=$(\frac{2}{3})^{n-1}$×$\frac{1}{9}$
>0,
即bn+1+bn+2>bn,
∴bn+1、bn+2、bn能构成一个三角形的三边,
∴数列{bn}是“三角形”数列;
(2)解:由(1)知bn=$(\frac{2}{3})^{n-1}$,
∵d=1,an=dn2(d>0),
∴an=n2,
∴$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}{b}_{n}}{n}$=nbn=n$(\frac{2}{3})^{n-1}$,
∴Tn=1$(\frac{2}{3})^{0}$+2$(\frac{2}{3})^{1}$+3$(\frac{2}{3})^{2}$+…+n$(\frac{2}{3})^{n-1}$,
∴$\frac{2}{3}$Tn=1$(\frac{2}{3})^{1}$+2$(\frac{2}{3})^{2}$+…+(n-1)$(\frac{2}{3})^{n-1}$+n$(\frac{2}{3})^{n}$,
∴$\frac{1}{3}$Tn=1+$(\frac{2}{3})^{1}$+$(\frac{2}{3})^{2}$+…+$(\frac{2}{3})^{n-1}$-n$(\frac{2}{3})^{n}$
=$\frac{1-(\frac{2}{3})^{n}}{1-\frac{2}{3}}$-n$(\frac{2}{3})^{n}$
=3[1-$(\frac{2}{3})^{n}$]-n$(\frac{2}{3})^{n}$,
∴Tn=9[1-$(\frac{2}{3})^{n}$]-3n$(\frac{2}{3})^{n}$=9-3(n+3)$(\frac{2}{3})^{n}$,
∵不等式Tn+($\frac{2}{3}$)n•$\frac{a}{n}$-9<0对任意的n∈N*恒成立,
∴$(\frac{2}{3})^{n}$[$\frac{a}{n}$-3(n+3)]<0恒成立,
∴a<3(n2+3n)min,
∵n≥1,
∴3(n2+3n)min=12,
∴a<12.
点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | f2(x)<f(x2)<f(x) | B. | f(x2)<f2(x)<f(x) | C. | f(x)<f(x2)<f2(x) | D. | f(x2)<f(x)<f2(x) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 此数列不是等差数列,也不是等比数列 | |
B. | 此数列可能是等差数列,也可能是等比数列 | |
C. | 此数列可能是等差数列,但不是等比数列 | |
D. | 此数列不是等差数列,但可能是等比数列 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分又不必要条件 |
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