Question

14．定义：如果一个数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，那么称此数列为“三角形”数列．已知数列{a_n}满足a_n=dn²（d＞0）．
（Ⅰ）试判断数列{a_n}是否是“三角形”数列，并说明理由；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=1，前n项和S_n满足3S_n+1-3=2S_n．
（1）证明：数列{b_n}是“三角形”数列；
（2）设d=1，数列{$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n}$}的前n项和为T_n，若不等式T_n+（$\frac{2}{3}$）ⁿ•$\frac{a}{n}$-9＜0对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n=dn²直接计算出前三项的值，利用a₁+a₂＜a₃即得结论；
（Ⅱ）（1）利用（3S_n+1-3）-（3S_n-3）=（2S_n）-（2S_n-1）（n≥2）可知$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，进而b_n＞b_n+1＞b_n+2，通过计算可知b_n+1+b_n+2＞b_n，进而可得结论；（2）通过b_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$、a_n=n²可知$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n}$=n$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，利用错位相减法可知T_n=9-3（n+3）$（\frac{2}{3}）^{n}$，进而$（\frac{2}{3}）^{n}$[$\frac{a}{n}$-3（n+3）]＜0恒成立，问题转化为求3（n²+3n）的最小值，计算即得结论．

解答 （Ⅰ）结论：数列{a_n}不是“三角形”数列．
理由如下：
∵a_n=dn²（d＞0），
∴a₁=d，a₂=4d，a₃=9d，
∵a₁+a₂＜a₃，
∴a₁、a₂、a₃不能构成一个三角形的三边，
∴数列{a_n}不是“三角形”数列；
（Ⅱ）（1）证明：∵3S_n+1-3=2S_n，
∴（3S_n+1-3）-（3S_n-3）=（2S_n）-（2S_n-1）（n≥2），
整理得：3b_n+1=2b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∵b₁=1，
∴3（b₁+b₂）-3=2b₁，
∴b₂=1-$\frac{1}{3}$b₁=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（n∈N^*），
∴数列{b_n}为单调递减数列，
即b_n＞b_n+1＞b_n+2，
又∵b_n+1+b_n+2-b_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$+$（\frac{2}{3}）^{n+1}$-$（\frac{2}{3}）^{n-1}$
=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$×（$\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-1$）
=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$×$\frac{1}{9}$
＞0，
即b_n+1+b_n+2＞b_n，
∴b_n+1、b_n+2、b_n能构成一个三角形的三边，
∴数列{b_n}是“三角形”数列；
（2）解：由（1）知b_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∵d=1，a_n=dn²（d＞0），
∴a_n=n²，
∴$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}{b}_{n}}{n}$=nb_n=n$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴T_n=1$（\frac{2}{3}）^{0}$+2$（\frac{2}{3}）^{1}$+3$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+n$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=1$（\frac{2}{3}）^{1}$+2$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（n-1）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+n$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=1+$（\frac{2}{3}）^{1}$+$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$-n$（\frac{2}{3}）^{n}$
=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$-n$（\frac{2}{3}）^{n}$
=3[1-$（\frac{2}{3}）^{n}$]-n$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴T_n=9[1-$（\frac{2}{3}）^{n}$]-3n$（\frac{2}{3}）^{n}$=9-3（n+3）$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∵不等式T_n+（$\frac{2}{3}$）ⁿ•$\frac{a}{n}$-9＜0对任意的n∈N^*恒成立，
∴$（\frac{2}{3}）^{n}$[$\frac{a}{n}$-3（n+3）]＜0恒成立，
∴a＜3（n²+3n）_min，
∵n≥1，
∴3（n²+3n）_min=12，
∴a＜12．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．