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设函数f(x)=a2x+2ax-1,其中a>0且a≠1.
(1)若a=
1
2
,请用定义证明f(x)在R上单调递增;
(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为14,求a的值.
考点:函数单调性的判断与证明,二次函数在闭区间上的最值
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:(1)设x1<x2,证明f(x2)-f(x1)>0即可.
(2)先ax=t,将函数转化成关于t的二次函数,注意讨论a的大小,求出变量t的范围,结合开口方向和对称轴求出最大值,建立等量关系,解之即可.
解答: 解:(1)设x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=(
1
2
)
2x2
+2(
1
2
)
x2
-1-((
1
2
)
2x1
+2(
1
2
)
x1
-1)=(
1
2
)
2x2
-(
1
2
)
2x1
+2(
1
2
)
x2
-2(
1
2
)
x1

∵2x2>2x1,函数g(x)=(
1
2
)
x
在定义域内单调递减.
(
1
2
)
2x2
-(
1
2
)
2x1
>0,2(
1
2
)
x2
-2(
1
2
)
x1
>0即有f(x2)-f(x1)>0.
故f(x)在R上单调递增.
(2)设ax=t,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2
其对称轴是t=-1,若a>1,x∈[-1,1]时,t∈[
1
a
,a]
二次函数y=f(t)在[
1
a
,a]上是增函数,从而ymax=f(a)=a2+2a-1
令a2+2a-1=14,得a=3(a=-5舍去)
若0<a<1,x∈[-1,1]时t∈[a,
1
a
],y=f(t)在[a,
1
a
]上仍是增函数,
从而ymax=f(
1
a
)=
1
a2
+
2
a
-1=14,解得a=
1
3
或a=-
1
5
(舍去)
综合得:a=3或a=
1
3
点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及指数函数的单调性与特殊点,考察了函数单调性的判断与证明,属于基础题.
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cosB
cosC
=
b
2a-c

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3
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3
,动点P在对角线BD1上,过点P作垂直于BD1的平面α,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y,设BP=x,则当x∈[
1
2
5
2
]
时,函数y=f(x)的值域为(  )
A、[
6
,3
6
]
B、[
3
6
2
,3
6
]
C、[
3
6
2
,9]
D、[
6
,9]

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5
2
)<0
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3
,圆C的面积小于13.
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3
,求直线MN的方程;
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C、16种D、20种

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x
2
+1的最大值为
 

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已知函数y=b+(a2+1)x2+2x(a,b是常数)在区间[-
3
2
,0]上有ymax=3,ymin=
5
2
,则a2+b2=(  )
A、2B、10C、8D、5

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