Question

12．直线x+2y=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1相交于A、B两点，AB中点为M，若直线AB斜率与OM斜率之积为-$\frac{1}{4}$．则椭圆的离心率e的值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求出k_OM，再由直线AB斜率与OM斜率之积为-$\frac{1}{4}$，求得答案．

解答 解：设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，得（a²+4b²）x²-2a²x+a²-4a²b=0．
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{1}{2}$（2-x₁-x₂）=1-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，
∴k_OM=$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$，又k_AB=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$•（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，即a²=4b²=4（a²-c²），即3a²=4c²，
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
另解：设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点为M（x₀，y₀），
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
由x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂），
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
可得k_AB•k_OM=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即a²=4b²=4（a²-c²），即3a²=4c²，
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．