【题目】若 , , 为同一平面内互不共线的三个单位向量,并满足 + + = ,且向量 =x + +(x+ ) (x∈R,x≠0,n∈N+).
(1)求 与 所成角的大小;
(2)记f(x)=| |,试求f(x)的单调区间及最小值.
【答案】
(1)解:依题设:| |=|| =| |=1,且 + =﹣ ( + )2=(﹣ )2,化简得:
=﹣ cos< , >=﹣ ,又< , >∈[0,π]< , >= .
(2)解:由(1)易知: = = =﹣ ,
故由f(x)=| |= ,
将其展开整理得:f(x)= (x∈R,x≠0,n∈N+).①x>0时,对u(x)=x2+( )2﹣n,求导并整理得:u′(x)= .
则由u′(x)>0x> ,
且由u′(x)<00<x< .即f(x)的增区间为( ,+∞),减区间为(0, ).
②x<0时,因f(x)为偶函数,由图象的对称性知:f(x)的增区间为(﹣ ,0),减区间为(﹣∞,﹣ ).
综上:f(x)的增区间为 (﹣ ,0)与 ( ,+∞),f(x)的减区间为(﹣∞,﹣ ) 和 (0, ).
再由均值不等式易求得:|x|= 时,f(x)min= .
【解析】(1)首先利用函数的数量积求出向量的夹角.(2)首先把向量的模长转化为求向量的数量级,进一步利用导数求出单调区间,最后确定最值.
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义是解答本题的根本,需要知道单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值.
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【题目】对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为400,右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 .
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【题目】记等比数列{an}前n项和为Sn , 已知a1+a3=30,3S1 , 2S2 , S3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=3,bn+1﹣3bn=3an , 求数列{bn}的前n项和Bn;
(3)删除数列{an}中的第3项,第6项,第9项,…,第3n项,余下的项按原来的顺序组成一个新数列,记为{cn},{cn}的前n项和为Tn , 若对任意n∈N* , 都有 >a,试求实数a的最大值.
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【题目】已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
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【题目】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1(﹣ ,0)、F2( ,0),并且经过点P( ,﹣ ).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与圆O:x2+y2=1相切,并与椭圆C交于不同的两点A、B.当 =λ,且满足 ≤λ≤ 时,求△AOB面积S的取值范围.
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【题目】已知数据x1 , x2 , x3 , …,x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入(均不超过2万元),设这100个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上马云2016年10月份的收入x101(约100亿元),则相对于x、y、z,这101个月收入数据( )
A.平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
B.平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
C.平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
D.平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
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【题目】如图(a),在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=8,AD=CD=4,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D﹣ABC,如图(b)所示.
(1)求证:BC⊥平面ACD;
(2)求几何体D﹣ABC的体积.
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【题目】某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计广告费用为12万元时,销售收入y的值.
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