Question

1．函数$f（x）=\frac{bx+c}{{a{x^2}+1}}（a，b，c∈R）$是奇函数，且f（-2）≤f（x）≤f（2），则a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由f（0）=0可求c，根据f（-2）≤f（x）≤f（2），利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{bx+c}{{a{x^2}+1}}（a，b，c∈R）$是奇函数且定义域内有0
∴f（0）=0
解得c=0，故f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$．
x＞0，a＞0，f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$=$\frac{b}{ax+\frac{1}{x}}$≤$\frac{b}{2\sqrt{a}}$（ax=$\frac{1}{x}$时取等号）
∵f（-2）≤f（x）≤f（2），∴2a=$\frac{1}{a}$，∴a=$\frac{1}{4}$．
故答案为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了奇函数性质的简单应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．