Question

已知以点C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意写出圆C的方程，整理后分别令y=0与x=0求出对应的x与y的值，确定出A与B坐标，求出三角形AOB面积，即可得证；
（Ⅱ）根据|OM|=|ON|，得到O在MN的中垂线上，设MN中点为H，得到CH与MN垂直，进而确定出C，H，O共线，求出直线OC斜率，得到t的值确定出圆心C坐标，即可得到圆C的方程；
（Ⅲ）找出B关于x+y+2=0的对称点B′坐标，利用三角形两边之和大于第三边求出|PB|+|PQ|的最小值，以及此时直线B′C的方程，即可求出交点P坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题设知，圆C的方程为（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，化简得x²-2tx+y²-

4

t

y=0，
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或

4

t

，则B（0，

4

t

），
∴S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

×|2t|×|

4

t

|=4为定值；
（II）∵|OM|=|ON|，
∴原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，
则直线OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

，
∴t=2或t=-2，
∴圆心C（2，1）或C（-2，-1），
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于当圆方程为（x-2）²+（y+1）²=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去；
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5；
（Ⅲ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

，
∴|PB|+|PQ|的最小值为2

5

，直线B′C的方程为y=

1

2

x，
则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（-

4

3

，-

2

3

）．

点评：此题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，对称的性质，三角形的三边关系，以及两直线的交点坐标，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．