Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（1，sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2$\sqrt{3}$，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式，通过化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），进而可得结论；
（Ⅱ）通过$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）=2$可得C=$\frac{π}{6}$，利用余弦定理可得a²+b²=7、进而计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1
=（2cos²x，$\sqrt{3}$）•（1，sin2x）-1
=-1+2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）=2$，
即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵C是三角形内角，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，
∴cosC=cos$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵c=1，ab=2$\sqrt{3}$，
∴a²+b²=7，
将ab=2$\sqrt{3}$代入上式，
可得${a}^{2}+\frac{12}{{a}^{2}}=7$，
解得a²=3或4，
∴a=$\sqrt{3}$、b=2，或a=2、b=$\sqrt{3}$，
∵a＞b，
∴a=$\sqrt{3}$、b=2．

点评 本题是一道关于平面向量的综合题，考查向量数量积运算、三角函数周期、二倍角公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．