Question

7．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，f（1）=$\frac{1}{2}$，当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（-1）、f（-2）的值；
（2）求证：f（x）＞0；
（3）若f（1-|2-t|）≤4时，不等式x²+tx-1≤0，求实数x取值集合．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=1，令x=1，y=-1，可得f（-1），再令x=y=-1，可得f（-2）；
（2）令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，由条件可得0＜f（x₂-x₁）＜1，即有f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁），运用条件可得f（x）递减，再由x＜0，可得f（x）＞0；
（3）运用函数的单调性和f（-2）=4，求得t的范围，再令g（t）=x²+tx-1，由不等式恒成立，可得x的不等式，由二次不等式的解法，即可得到所求集合．

解答 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=f²（0），
解得f（0）=0，或f（0）=1；
当f（0）=0时，f（x）=f（x）f（0）=0，不成立，
即有f（0）=1；
令x=1，y=-1，可得f（0）=f（1）f（-1），
即1=$\frac{1}{2}$f（-1），解得f（-1）=2；
令x=y=-1，可得f（-2）=f²（-1）=4；
（2）证明：令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，
由当x＞0时，0＜f（x）＜1，
可得0＜f（x₂-x₁）＜1，
即有f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）＜f（x₁），
则f（x）在R上单调递减；
当x＜0时，f（x）＞f（0）=1，
综上可得f（x）＞0恒成立；
（3）f（1-|2-t|）≤4，
即为f（1-|2-t|）≤f（-2），
由（2）可得f（x）在R上递减，可得1-|2-t|≥-2，
解得-1≤t≤5，
不等式x²+tx-1≤0在-1≤t≤5恒成立，
即为g（t）=x²+tx-1≤0恒成立，
可得$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≤0}\\{g（5）≤0}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1≤0}\\{{x}^{2}+5x-1≤0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}≤x≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{\frac{-5-\sqrt{29}}{2}≤x≤\frac{-5+\sqrt{29}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{-5+\sqrt{29}}{2}$．
即有实数x取值集合为[$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-5+\sqrt{29}}{2}$]．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查赋值法的运用和函数的单调性的判断和运用，以及恒成立问题的解法，属于中档题．