Question

已知实数，且按某种顺序排列成等差数列．
（1）求实数的值；
（2）若等差数列的首项和公差都为，等比数列的首项和公比都为，数列和的前项和分别为，且，求满足条件的自然数的最大值．

Answer 1

（1）；（2）14

解析试题分析：（1）由按某种顺序排列成等差数列，通过分类判断值的大小得到两类，再根据等差数列中项的性质，即可得到结论.
（2）由于等差数列的首项和公差都为，等比数列的首项和公比都为，所以分别求出数列，的通项公式.根据通项公式分别求出两个数列的前n项和的公式.再由求出结论.
（3）解法一：由已知三个数有：，     1分
不妨设排列成递增的等差数列，则
①依次成等差数列，则有解得，符合题意；   3分
②若依次成等差数列，则有解得，由不符合题意；   5分
综上得.   6分
解法二：分三种情况讨论：
①若为等差中项，则有解得，符合题意；   2分
②若为等差中项，则有解得，由不符合题意；   4分
③若为等差中项，则有，即，方程无解；  6分
综上得．
（2）解：由（1）知，，   8分
 ，    10分
由已知可得，即,   11分
即，又，故的最大值为14．   12分
考点：1.等差等比数列的通项公式.2.求和公式.3.不等式的交汇.