Question

将二项式(

x

+

1

2 4 x

)n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有

3

个．

Answer 1

分析：写出展开式的通项，利用前三项系数成等差数列，求出n，进而可求展开式中x的指数是整数的项的个数．

解答：解：展开式的通项为Tr+1=

C

r n

×(

1

2

)r×x

2n-3r

4

（r=0，1，2，…，n）
∴前三项的系数分别是1，

1

2

n，

1

8

n(n-1)，
∵前三项系数成等差数列
∴2•

1

2

n=1+

1

8

n(n-1)
∴n=8
∴当n=8时，Tr+1=

C

r n

(

1

2

)rx

16-3r

4

（r=0，1，2，…，8）
∴r=0，4，8，展开式中x的指数是整数
故答案为：3

点评：本题考查二项展开式，考查等差数列的运用，考查展开式的特殊项，确定n是关键．