Question

已知函数 f（x）=ax＋lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=－1时，求的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e］上的最大值为－3，求a的值；
（3）当a=－1时，试推断方程是否有实数解 .

Answer 1

（1）-1
（2）
（3）方程无实数解

试题分析：解：（1）当时，
，当时，在区间上为增函数，
当时，，在区间上为减函数，
所以当，有最大值，。    3分
（2）∵，若，则在区间（0，e］上恒成立，
在区间（0，e］上为增函数，，
，舍去，
当，在区间（0，e］上为增函数，
，∴，舍去，
若，当时，在区间上为增函数，
当时， ，在区间上为减函数，
，；
综上。    8分
（3）当时，恒成立，所以，
令，
，当时，在区间上为增函数，
当时，在区间上为减函数，
当时，有最大值，所以恒成立，
方程无实数解。    12分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性以及最值的运用，属于基础题。