Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．左右焦点分别为F₁，F₂．
（1）求椭圆的右焦点F₂到对应准线的距离；
（2）如果椭圆上第一象限的点P到右准线的距离为$\frac{16}{3}$，求点P到左焦点F₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程求出a，c的值，得到椭圆右焦点坐标，再求出右准线方程，则答案可求；
（2）由椭圆的第二定义结合（1）中求出的右焦点到对应准线的距离，得到P到右焦点的距离，再由椭圆第一定义求得点P到左焦点F₁的距离．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a²=25，b²=16，
∴c²=9，则a=5，c=3，
∴右焦点F₂（3，0），对应右准线$x=\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{25}{3}$，右焦点到对应准线的距离为d=$\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}$；
（2）椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，根据第二定义，$P{F}_{2}=ed=\frac{3}{5}×\frac{16}{3}=\frac{16}{5}$，
根据第一定义得$P{F}_{1}=2a-P{F}_{2}=10-\frac{16}{5}=\frac{34}{5}$，
∴点P到左焦点F₁的距离为$\frac{34}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆两种形式的定义，体现了数学转化思想方法，是中档题．