Question

【题目】数列{an}中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差数列．
（1）计算S1 ， S2 ， S3的值；
（2）根据以上结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：S1=a1=1，由已知有2S2=S1+2S2，得S2= ，

又2S3=S2+2S2，得S3=

（2）解：由以上结果猜测：Sn=

② 当n=1时，S1= =1，猜想成立

②假设当n=k时猜想成立，则有Sk=

当n=k+1时，∵2Sk+1=Sk+2S1，

∴Sk+1= +2= ，

∴S= ，

∴n=k+1时猜想成立，

故由①和②，可知猜想成立

【解析】（1）Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差数列，得到2Sn+1=Sn+Sn+1 ， 可求S1 ， S2 ， S3的值；（2）由（1）猜想Sn的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．
【考点精析】本题主要考查了数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．