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精英家教网如图,在矩形ABCD中,AB=
3
,BC=1
,以A为圆心1为半径的圆与AB交于E(圆弧DE为圆在矩形内的部分)
(1)在圆弧DE上确定P点的位置,使过P的切线l平分矩形ABCD的面积;
(2)若动圆M与满足题(1)的切线l及边DC都相切,试确定M的位置,使圆M为矩形内部面积最大的圆.
分析:(1)以A点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.设P(x0,y0)则B,C坐标可知,进而求得圆弧DE的方程和切线l的方程,设l与AB、CD交于F、G,则F,G的坐标可表示出,进而根据l平分矩形ABCD面积,可知求得x0和y0的关系式,同时与圆弧的方程联立求得x0和y0的,则点P的坐标可得.
(2)根据(1)中切线的方程,当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切,设圆M与直线l、BC、DC分别切于R、Q、T,则MR=MT=MQ=r(r为圆M的半径).进而根据点到直线的距离求得求得r的值,进而求得点M的坐标.
解答:解:(1)以A点为坐标原点,
AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.
设P(x0,y0),B(
3
,0)
,D(0,1),
圆弧DE的方程x2+y2=1(x≥0,y≥0)
切线l的方程:x0x+y0y=1
设l与AB、CD交于F、G可求F(
1
x0
,0
),G(
1-y0
x0
,1
),
∵l平分矩形ABCD面积,
FB=GN?
3
-
1
x0
=
1-y0
x0
?
3
x0+y0-2=0

又x02+y02=1②解①、②得:
x0=
3
2
y0=
1
2
,∴P(
3
2
1
2
)

(2)由题(Ⅰ)可知:切线l的方程:
3
x+y-2=0

当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切,
设圆M与直线l、BC、DC分别切于R、Q、T,
则MR=MT=MQ=r(r为圆M的半径).∴M(
3
-r,1-r)

|
3
(
3
-r)+1-r-2|
3
2
+12
=r?r=
3
+1
(舍),r=
3-
3
3

∴M点坐标为(
4
3
-3
3
3
3
)
点评:本题主要考查了直线与圆的综合运用.考查了考生综合运用所学知识的能力.
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3
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12
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