精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

（1）证明：当a＞1时，不等式a³ $数学公式$ ＞a² $数学公式$ 成立．
（2）要使上述不等式a³ $数学公式$ ＞a² $数学公式$ 成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由．
（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．

解：（1）证明： $\text{[math]}$ ，∵a＞1，∴ $\text{[math]}$ ＞0，
∴原不等式成立．
（2）∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a≠1 恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，则有 $\text{[math]}$ ．
证：左式-右式= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
若a＞1，则由m＞n＞0 可得 a^m-n-1＞0，a^m+n-1＞0∴不等式成立．
若0＜a＜1，则由m＞n＞0 可得 0＜a^m-n＜1，0＜a^m+n＜1，∴不等式成立．
分析：（1）用作差比较法证明不等式，把差化为因式积的形式，判断符号，得出结论．
（2）由于a-1与a⁵-1同号，对任何a＞0且a≠1 恒成立，故上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1．
（3）左式-右式等于 $\text{[math]}$ ，根据m＞n＞0，分a＞1 和0＜a＜1 两种情况讨论．
点评：本题考查不等式性质的应用，用比较法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f(x)=2x+

的定义域为（0，2]（a为常数）．
（1）证明：当a≥8时，函数y=f（x）在定义域上是减函数；
（2）求函数y=f（x）在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R．且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：当a=3、b=2时函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B．
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，试求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设函数f(x)=1-e-x-

ax+1

，（a∈R）．
（1）若a=1，证明：当x＞-1时，f（x）≥0；
（2）若f（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N且n＞1求证：(n-1)!≥e2n-2-

k=2

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=alnx-x²．
（1）当a=2时，求函数y=f（x）在[

，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在区让（0，3）上不单调，求a的取值范围；
（3）当a=2时，函数h（x）=f（x）-mx的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又y=h′（x）是y=h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α．证明h′（αx₁+βx₂）＜0．

查看答案和解析>>

同步练习册答案