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(本小题满分12分)

已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.

(I )求抛物线C的方程;

(II)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N,试问在x轴上是否存 在定点Q,使Q点在以MN为直径的圆上,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)  (2) 即在x轴上存在定点Q(1,0)在以MN为直径的圆上

【解析】

试题分析:解: (Ⅰ)由定义知为抛物线的准线,抛物线焦点坐标

由抛物线定义知抛物线上点到直线的距离等于其到焦点F的距离.

所以抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线的距离.…………2分

所以,则=2,所以,抛物线方程为.………………4分

(Ⅱ)设M,由题意知直线斜率存在,设为k,且,所以直线方程为,

代入消x得:

………………6分

所以直线方程为,令x=-1,又由

由题意知……………8分

,把代入左式,

得:,……………10分

因为对任意的等式恒成立,

所以

所以即在x轴上存在定点Q(1,0)在以MN为直径的圆上.……………12分

考点:本试题考查了抛物线的知识点。

点评:解决直线与圆锥曲线的位置关系的考查,一般采用设而不求的联立方程组的思想来求解,结合韦达定理,和向量的数量积公式,来得到坐标之间的关系式,然后求解证明结论。对于点是否在圆上的问题,可以通过向量的数量积垂直来说明即可,中档题。

 

练习册系列答案
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3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)

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设平面直角坐标中,O为原点,N为动点,|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
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OP
=3
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