Question

已知向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，函数f（x）=

a

•

b

，g(x)=f(

π

6

x+

π

3

)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当a＞

2π

3

时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，函数f（x）=

a

•

b

，我们可以求出函数f（x）的解析式，进而根据余弦型函数的对称性得到函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）由（1）中函数f（x）的解析式及g(x)=f(

π

6

x+

π

3

)+ax可得函数g（x）的解析式，根据函数g（x）的图象关于y轴对称，可得a值，进而根据函数的周期，利用分组求和法可得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3））∵已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立，可证得当a＞

2π

3

时，当x₁＜x₂时，恒有g（x₁）＜g（x₂）．进而根据函数单调性的定义可得，当a＞

2π

3

时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，
又∵f（x）=

a

•

b

，
∴f(x)=2cos2x-2

3

sinxcosx
=2cos(2x+

π

3

)+1．　　　　　　　　　　　…（4分）
由2x+

π

3

=kπ(k∈Z)，得x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)，
即函数f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)．…（6分）
（2）由（1）知g(x)=2cos(

π

3

x+π)+ax+1=-2cos

π

3

x+ax+1
∵函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴函数g（x）是偶函数，即a=0．
故g(x)=-2cos

π

3

x+1…（8分）
又函数g（x）的周期为6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010．  …（11分）
（3）∵已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立
∴对于任意x₁，x₂且x₁＜x₂，由已知得

π

3

(x1-x2)≤cos

π

3

x1-cos

π

3

x2≤

π

3

(x2-x1)．
∴g(x1)-g(x2)=2cos

π

3

x1+ax1+1-2cos

π

3

x2-ax2-1=2(cos

π

3

x1-cos

π

3

x2)+a(x1-x2)＜

2π

3

(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-

2π

3

)(x1-x2)
∵a＞

2π

3

，
∴(a-

2π

3

)(x1-x2)＜0
即当x₁＜x₂时，恒有g（x₁）＜g（x₂）．
所以当a＞

2π

3

时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（16分）

点评：本题考查的知识点是余弦函数的对称性，函数的单调性的性质，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，其中求出函数f（x）的解析式及函数g（x）的解析式是解答本题的关键．