Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，为椭圆的一个焦点，离心率，过作两条互相垂直的直线，， 与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，且四点在椭圆上逆时针分布.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的最大值与最小值的比值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题干条件得到a,b,c的值进而得到方程；（2）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．

根据题意得：

(1) c=1,e==,所以a=2，b=,所以椭圆方程为+=1

(2)当直线l1、l2斜率有不存在的，不妨设直线l1：x=0,直线l2：y=1

|AC|=2a=4,|BD|==3,设四边形ABCD的面积为S,则S=|AC||BD|=6

当直线l1、l2斜率均存在时，不妨设l1：y=kx+1,直线l2：y= ()x+1

将l1和椭圆联立化简得：(3k2+4)x2+6kx-9=0

=36k2+36(3k2+4)>0,设A(x1,y1)、C(x2,y2), x1+x2= x1x2=

|AC|===

同理：|BD|==

S=|AC||BD|==

设t= (0,1),k2=1,S==

t2+t+12(12,], 所以S[，6)

综上所述，Smax=6 ,Smin=,=