Question

4．已知点P（1+cosα，sinα），参数为α，点Q在曲线C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上．
（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求点P与点Q之间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由点P（1+cosα，sinα），知$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，参数为α，由此能求出点P的轨迹方程；由点Q在曲线C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上，知ρsinθ+ρcosθ=9，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）圆心（1，0），半径r=1，圆心（1，0）到直线x+y-9=0的距离d=4$\sqrt{2}$，由此能求出点P与点Q之间距离的最小值．

解答 解：（1）∵点P（1+cosα，sinα），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，参数为α，
由sin²θ+cos²θ=1，得点P的轨迹方程为（x-1）²+y²=1．
∵点Q在曲线C：ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$上．
∴$ρ\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=9，
即ρsinθ+ρcosθ=9，
∴曲线C的直角坐标方程为x+y-9=0．
（2）圆心（1，0），半径r=1，
圆心（1，0）到直线x+y-9=0的距离d=$\frac{|1+0-9|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴点P与点Q之间距离的最小值为4$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查点的轨迹方程和直角坐标方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标与直角坐标互化公式的合理运用．