Question

【题目】抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.

详解：设|PF|=2a，|QF|=2b，

由抛物线定义，得|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，

在梯形ABPQ中，2|MN|=|PA|+|QF|=2a+2b，

∵|MN|=|PQ|，

∴|PQ|=a+b，

由余弦定理得，设∠PFQ=θ，

（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，

∴a2+b2+2ab=4a2+4b2﹣8abcosθ，

∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，

∴θ≤，

故答案为：