Question

已知数列{a_n}为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q=时，在数列{a_n}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{a_n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．

Answer 1

解：（1）①不妨设a₁≥1，设数列a_n有n项在1和100之间，则≤100．所以，≤100．
两边同取对数，得（n-1）（lg3-lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值为12，即数列a_n中，最多有12项在1和100之间．（5分）
②不妨设1≤a₁＜＜＜＜≤100，其中a₁，，，，均为整数，所以a₁为2^n-1的倍数．所以3^n-1≤100，所以n≤5．（8分）
又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．
所以，当q=时，最多有5项是1和100之间的整数．（10分）
（2）设等比数列aq^n-1满足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，
其中a，aq，，aq^n-1均为整数，n∈N^*，q＞1，显然，q必为有理数．（11分）
设q=，t＞s≥1，t与s互质，
因为aq^n-1=为整数，所以a是s^n-1的倍数．（12分）
令t=s+1，于是数列满足100≤a＜a•＜＜a•≤100．
如果s≥3，则1000≥a•≥（q+1）n-1≥4n-1，所以n≤5．
如果s=1，则1000≥a•2^n-1≥100•2^n-1，所以，n≤4．
如果s=2，则1000≥a•≥100•，所以n≤6．（13分）
另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，
所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．（16分）
分析：（1）①不妨设a₁≥1，设数列a_n有n项在1和100之间，由题意得：≤100．两边同取对数可得n≤12.37．从而得出n的最大值为12即得；
②不妨设1≤a₁＜＜＜…＜≤100，其中a₁，，，，均为整数，利用指数不等式3^n-1≤100，得出n≤5从而得出当q=时，最多有5项是1和100之间的整数；
（2）设等比数列aq^n-1满足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，再设q=，t＞s≥1，t与s互质，根据题意得到a是s^n-1的倍数，令t=s+1，于是数列满足不等关系：100≤a＜a•＜＜a•≤100．下面就s进行分类讨论：如果s≥3，如果s=1，如果s=2，即可得出最多有几项是100～1000之间的整数．
点评：本小题主要考查等比数列的性质、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．