Question

设函数f(x)=cos2x•tan(x-

π

4

)，且cosx≠0，cosx+sinx≠0．
（1）计算f（π）的值；
（2）若f（α）=cosα-1，α∈[0，π]，求α的值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=cos2x•tan（x-

π

4

），易求f（π）=-1；
（2）利用二倍角的余弦与“切”化“弦”运算，可求得f（x）=2sinxcosx-1，再利用f（α）=cosα-1，α∈[0，π]，即可求得α的值．

解答：解：（1）∵f（x）=cos2x•tan（x-

π

4

），
∴f（π）=cos2π•tan（π-

π

4

）=-1；
（2）∵cosx≠0，cosx+sinx≠0，
∴f（x）=cos2x•

tanx-1

tanx+1

=（cos²x-sin²x）•

sinx cosx -1

sinx cosx +1

=-（cosx-sinx）²=2sinxcosx-1．              
由f（α）=2sinαcosα-1=cosα-1，得cosα（2sinα-1）=0．
∵α∈[0，π]，且cosα≠0，
∴2sinα-1=0，即sinα=

1

2

，
∴α=

π

6

或

5π

6

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，着重考查二倍角的余弦与“切”化“弦”运算，（2）中求得f（x）=2sinxcosx-1是关键，也是难点，属于中档题．