【题目】已知椭圆与抛物线y2=x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若,求△AOB的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c,再根据离心率列方程组可得a=2,b2=2 (2)将OP视为底,根据三角形面积公式得S= |OP|·|x1-x2|,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理化简得|x1-x2|,最后根据解出k,代入解得△AOB的面积.
试题解析:解:(1)依题意,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意可得c=,又e==,∴a=2.
∴b2=a2-c2=2,
∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由=2,得
设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理,得
(2k2+1)x2+4kx-2=0,
∴x1+x2=-,x1·x2=-.
将x1=-2x2代入上式整理可得, 2=,
解得k2=.
∴△AOB的面积S=|OP|·|x1-x2|
==·=.
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【题目】苹果可按果径(最大横切面直径,单位:.)分为五个等级:时为1级,时为2级,时为3级,时为4级,时为5级.不同果径的苹果,按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个,果径均在内,从中随机抽取2000个苹果进行统计分析,得到如图1所示的频率分布直方图,图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.
(1)假设服从正态分布,其中的近似值为果径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值代替),,试估计采摘的10000个苹果中,果径位于区间的苹果个数;
(2)已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果,且售价为特级果12元,一级果10元,二级果9元.设该果园售出这苹果的收入为,以频率估计概率,求的数学期望.
附:若随机变量服从正态分布,则
,,.
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【题目】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术;蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息,现有一幅剪纸的设计图,其中的4个小圆均过正方形的中心,且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】随着电子商务的兴起,网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计,到2020年,网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展,现有甲、乙两个快递公司,每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务,现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下:甲公司打包工每天基础工资64元,且每天每打包一件快递另赚1元;乙公司打包工无基础工资,如果每天打包量不超过240件,则每打包一件快递可赚1.2元;如果当天打包量超过240件,则超出的部分每件赚1.8元.
下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图,以打包量的频率作为各打包量发生的概率.(同一组中的数据用该组区间的中间值作代表).
(1)(i)以每天打包量为自变量,写出乙公司打包工的收入函数;
(ii)若打包工小李是乙公司员工,求小李一天收入不低于324元的概率;
(2)某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作,如果仅从日平均收入的角度考虑,请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择,并说明理由.
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【题目】若方程所表示的曲线为,则下面四个选项中错误的是( )
A.若为椭圆,则B.若是双曲线,则其离心率有
C.若为双曲线,则或D.若为椭圆,且长轴在轴上,则
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【题目】在平行四边形中,过点C的直线与线段、分别相交于点M、N,若,;
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)定义函数(),点列(,)在函数的图像上,且数列是以1为首项,0.5为公比的等比数列,O为原点,令,是否存在点,使得?若存在,求出Q点的坐标,若不存在,说明理由;
(3)设函数为上的偶函数,当时,,又函数的图像关于直线对称,当方程在()上有两个不同的实数解时,求实数a的取值范围;
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【题目】已知椭圆,为左焦点,为上顶点,为右顶点,若,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为.
(1)求的标准方程;
(2)是否存在过点的直线,与和交点分别是和,使得?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代数学名著《九章算术商功》中阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:
①四个侧面都是直角三角形;
②最长的侧棱长为;
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;
④外接球的表面积为24π.
其中正确的描述为____.
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